Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba: a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\quad (a\neq 0)}

(Lưu ý là các kết quả của lượng giác này chỉ ở trong môi trường radian)

Đặt các giá trị:

Δ = b 2 − 3 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-3ac}

k = 9 a b c − 2 b 3 − 27 a 2 d 2 | Δ | 3 ( Δ ≠ 0 ) {\displaystyle k={\frac {9abc-2b^{3}-27a^{2}d}{2{\sqrt {|\Delta |^{3}}}}}\qquad (\Delta \neq 0)}

1) Nếu Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0}

1.1) | k | ≤ 1 {\displaystyle |k|\leq 1} : Phương trình có ba nghiệm x 1 = 2 Δ cos ⁡ ( arccos ⁡ ( k ) 3 ) − b 3 a {\displaystyle x_{1}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos \left({\frac {\arccos(k)}{3}}\right)-b}{3a}}}

x 2 = 2 Δ cos ⁡ ( arccos ⁡ ( k ) 3 − 2 π 3 ) − b 3 a {\displaystyle x_{2}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos \left({\frac {\arccos(k)}{3}}-{\frac {2\pi }{3}}\right)-b}{3a}}}

x 3 = 2 Δ cos ⁡ ( arccos ⁡ ( k ) 3 + 2 π 3 ) − b 3 a {\displaystyle x_{3}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos \left({\frac {\arccos(k)}{3}}+{\frac {2\pi }{3}}\right)-b}{3a}}} 1.2) | k | > 1 {\displaystyle |k|>1} : Phương trình có một nghiệm duy nhất x = Δ | k | 3 a k ( | k | + k 2 − 1 3 + | k | − k 2 − 1 3 ) − b 3 a {\displaystyle x={\frac {{\sqrt {\Delta }}|k|}{3ak}}\left({\sqrt[{3}]{|k|+{\sqrt {k^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{|k|-{\sqrt {k^{2}-1}}}}\right)-{\frac {b}{3a}}}

2) Nếu Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} :

2.1) b 3 − 27 a 2 d = 0 {\displaystyle b^{3}-27a^{2}d=0} : Phương trình có một nghiệm bội x = − b 3 a {\displaystyle x={\frac {-b}{3a}}} 2.2) b 3 − 27 a 2 d ≠ 0 {\displaystyle b^{3}-27a^{2}d\neq 0} : Phương trình có một nghiệm duy nhất x = − b + b 3 − 27 a 2 d 3 3 a {\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt[{3}]{b^{3}-27a^{2}d}}}{3a}}}

3) Nếu Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} : Phương trình có một nghiệm duy nhất

x = | Δ | 3 a ( k + k 2 + 1 3 + k − k 2 + 1 3 ) − b 3 a {\displaystyle x={\frac {\sqrt {|\Delta |}}{3a}}\left({\sqrt[{3}]{k+{\sqrt {k^{2}+1}}}}+{\sqrt[{3}]{k-{\sqrt {k^{2}+1}}}}\right)-{\frac {b}{3a}}}